$\lim -x \rightarrow 0 \frac{1-\cos (1-\cos 4 x)}{x^{4}}$ is equal to :

প্রদত্ত নিমিটটি হলো:

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (1-\cos 4 x)}{x^{4}}$

ধাপ ১: সরলীকরণ

প্রথমে $\cos (1-\cos 4 x)$ কে টেলর সিরিজ ব্যবহার করে প্রসারিত করি। আমরা জানি যে:

$\cos \theta \approx 1-\frac{\theta^{2}}{2}+\frac{\theta^{4}}{24}-\cdots$

এখানে, $\theta=1-\cos 4 x$. প্রথমে $\cos 4 x$ কে প্রসারিত করি:

$\cos 4 x \approx 1-\frac{(4 x)^{2}}{2}+\frac{(4 x)^{4}}{24}=1-8 x^{2}+\frac{256 x^{4}}{24}=1-8 x^{2}+\frac{32 x^{4}}{3}$

সুতরাং,

$1-\cos 4 x \approx 8 x^{2}-\frac{32 x^{4}}{3}$

এখন, $\cos (1-\cos 4 x)$ কে প্রসারিত করি:

$\cos (1-\cos 4 x) \approx 1-\frac{(1-\cos 4 x)^{2}}{2}+\frac{(1-\cos 4 x)^{4}}{24}$

প্রথম পদটি ব্যবহার করে:

$\cos (1-\cos 4 x) \approx 1-\frac{\left(8 x^{2}-\frac{32 x^{4}}{3}\right)^{2}}{2}$

এই পদটি সরলীকরণ করি:

$\left(8 x^{2}-\frac{32 x^{4}}{3}\right)^{2}=64 x^{4}-\frac{512 x^{6}}{3}+\frac{1024 x^{8}}{9}$

সুতরাং,

$\cos (1-\cos 4 x) \approx 1-\frac{64 x^{4}}{2}+\frac{512 x^{6}}{6}-\frac{1024 x^{8}}{18}$

এখন, লবের মান হবে:

$1-\cos (1-\cos 4 x) \approx \frac{64 x^{4}}{2}-\frac{512 x^{6}}{6}+\frac{1024 x^{8}}{18}$

সরলীকরণ করি:

$1-\cos (1-\cos 4 x) \approx 32 x^{4}-\frac{256 x^{6}}{3}+\frac{512 x^{8}}{9}$

ধাপ ২: লিমিট নির্ণয়

এখন, লিমিটটি হবে:

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{32 x^{4}-\frac{256 x^{6}}{3}+\frac{512 x^{8}}{9}}{x^{4}}=\lim _{x \rightarrow 0}\left(32-\frac{256 x^{2}}{3}+\frac{512 x^{4}}{9}\right)$

$x \rightarrow 0$ এর জন্য,, $x^{2}$ এ্রবং $x^{4}$ এর মান শূन्য হয়ে যায়। সুতরাং, লিমিটটি হলো:

32