সূক্ষকোণী ত্রিভুজ $\mathrm{ABC}$ এর শীর্ষ তিনটি $A(4,0), \mathrm{B}(0,2)$ , $\mathrm{C}(3,5)$ হলে, $\triangle A B C$ এর সাপেক্ষে একটি বিন্দুর পাদত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয় কর।

সমাধান: : ধরি, $\triangle \mathrm{ABC}$ ও $\mathrm{AD}, \mathrm{BE}, \mathrm{CF}$ যথাক্রমে $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}, \mathrm{AB}$ এর উপর লম্ব ।তারা পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে $\triangle A B C$ এর সাপেক্ষ $O$ বিন্দু পাদত্রিভুজ $\triangle \mathrm{DEF}$ এর অন্তঃকেন্দ্র. $\mathrm{BC}$ এর উপর লম্ব $\mathrm{AD}$ এর সমীকরণ,

$\begin{aligned} & (3-0) x+(5-2) y=3 \times 4+3 \times 0 \\ \Rightarrow & 3 x+3 y-12=0 \end{aligned}$

$\Rightarrow x+y-4=0$

আবার, $\mathrm{CA}$ এর উপর লম্ব $\mathrm{BE}$ এর সমীকরণ,

$(4-3) x+(0-5) y=1 \times 0-5 \times 2$

$\Rightarrow x-5 y+10=0$

(1) $-(2) \Rightarrow 6 y-14=0 \Rightarrow y=\frac{7}{3}$

$\therefore$ (1) হতে পাই, $\mathrm{x}+\frac{7}{3}-4=0$

$\Rightarrow x+\frac{7-12}{3}=0 \Rightarrow x=\frac{5}{3}$

$\therefore \triangle \mathrm{ABC}$ এর লম্বকেন্দ্র$=\left(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}\right)$.

$\therefore$ পাদত্রিভুজ $\triangle \mathrm{DEF}$ অন্ত:কেন্দ্র $=\triangle \mathrm{ABC}$ এর লম্বকেন্দ্র

$\text {}=\left(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}\right) \text { (Ans.) }$