If $\csc\theta=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$ where $x$ and $y$ are two unequal non-zero real numbers, then the number of real values of $\theta$ is 

আমাদের প্রশ্নের উপর আলোচনা করা যাক। প্রথমে আমরা জানতে চাই যে, $\csc\theta$ এর সমান্তরাল কোসাইনসেকন্টের সমীকরণ কি? এটি হল:

$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$

আবার, সইন থেকে কোসাইন এবং ট্যানজেন্টের সাহায্যে আমরা ব্যবহার করতে পারি। আমরা জানি:

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

এবং

$\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$

আমাদের প্রশ্নের মধ্যে ব্যবহৃত তথ্য বিবেচনা করে, আমরা পাচ্ছি:

$\csc\theta = \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$

এবং এটির সমীকরণ হল:

$\frac{1}{\sin\theta} = \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$

এখন আমরা সাধারণতায় সাইন নিয়ে আলোচনা করি। যদি $x \neq y$ এবং $x \neq -y$ হয়, তবে অংকগুলি যে কোন মান নিতে পারে, কারণ অবশ্যই $x^2 + y^2 \neq 0$ এবং $x \neq 0$ এবং $y \neq 0$ এবং $x \neq y$ হতে হবে। একই পদ্ধতিতে, যদি $x = -y$, তবে এই উপপাদ্য মেনে নেওয়া যায় যে, $\csc\theta$ এর সমান্তরাল তাই হবে যেটি $1$ এবং $-1$ এর মধ্যে বিপরীত যেটি যে একটি গণিত করে, অর্থাৎ $90^\circ$ এবং $270^\circ$, যেটি কোসাইনেকে শূন্য করবে। অতএব, প্রশ্নের উত্তর হল 0।