$1 - \frac{1}{5} - \left ( \frac{1}{2} \right ) \left ( \frac{1}{5^{2}} \right ) - \left ( \frac{1}{2} \right ) \left ( \frac{1}{5^{3}} \right )$ -.....= কত?

প্রদত্ত ধারা:

$1 - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5^2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5^3} - \dots$

প্রথম দুটি পদ আলাদা রেখে বাকি পদগুলো সিরিজ আকারে লিখি

$S = 1 - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5^2} + \frac{1}{5^3} + \frac{1}{5^4} + \dots \right)$

জ্যামিতিক ধারার যোগফল

$\frac{1}{5^2} + \frac{1}{5^3} + \frac{1}{5^4} + \dots$

এটি একটি গুণোত্তর ধারা, প্রথম পদ $a = \frac{1}{25}$, সাধারণ অনুপাত $r = \frac{1}{5}$।

যোগফল $= \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{1}{25}}{1-\frac{1}{5}} = \frac{\frac{1}{25}}{\frac{4}{5}} = \frac{1}{25} \cdot \frac{5}{4} = \frac{1}{20}$S-এর মান

$S = 1 - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{20}$

$= 1 - \frac{1}{5} - \frac{1}{40}$

$= \frac{40}{40} - \frac{8}{40} - \frac{1}{40}$

$= \frac{40 - 8 - 1}{40} = \frac{31}{40}$