The value of $\sum^{10}_{r=0}\begin{pmatrix}10\\r\end{pmatrix}\begin{pmatrix}15\\14-r\end{pmatrix}$ is equal to

প্রদত্ত সমষ্টিটি হলো $\sum^{10}_{r=0}\begin{pmatrix}10\\\\r\end{pmatrix}\begin{pmatrix}15\\\\14-r\end{pmatrix}$

এটি সমাধান করা যাক:

প্রথমত, আমরা জানি যে সমন্বয় সুত্র প্রয়োগ করতে পারি: $\begin{pmatrix}n \\\\ k\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n \\\\ n-k\end{pmatrix}$

এরপর, **Vandermonde's Identity** প্রয়োগ করতে পারি:

$\sum^{k}_{r=0}\begin{pmatrix}m\\\\r\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n\\\\k-r\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}m+n\\\\k\end{pmatrix}$

এখানে, $m = 10$, $n = 15$, এবং $k = 14$।

তাহলে,

$\sum^{10}_{r=0}\begin{pmatrix}10\\\\r\end{pmatrix}\begin{pmatrix}15\\\\14-r\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}25\\\\14\end{pmatrix}$

অতএব, প্রদত্ত সমষ্টিটির মান $\begin{pmatrix}25\\\\14\end{pmatrix}$ এর সমান।