The value of $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{1/x^{2}}$ is 

আমরা প্রদত্ত সীমা সমীকরণটি সমাধান করবো। আমাদের প্রয়োজন:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{1/x^{2}}$

$\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)$ কে $e$ এর ঘাত হিসাবে প্রকাশ করি:

$\dfrac{\sin x}{x} = 1 - \dfrac{x^2}{6} + O(x^4)$

তাহলে:

$\ln \left(\dfrac{\sin x}{x}\right) = \ln \left(1 - \dfrac{x^2}{6}\right) \approx -\dfrac{x^2}{6}$ (যেহেতু $\ln(1 + y) \approx y$ যখন $y$ ছোট)

তাহলে,

$\ln \left( \left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{1/x^{2}} \right) = \dfrac{1}{x^2} \ln \left(\dfrac{\sin x}{x}\right) = \dfrac{1}{x^2} \left( -\dfrac{x^2}{6} \right) = -\dfrac{1}{6}$

তাহলে,

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{1/x^{2}} = e^{-\frac{1}{6}}$

তাই সঠিক উত্তর হলো (A) $e^{-1/6}$