Find the sum of the series $\displaystyle\sum _{ r=0 }^{ n }{ { \left( -1 \right) }^{ n } } { _{ }^{ n }{ C } }_{ r }\left[ \cfrac { 1 }{ { 2 }^{ r } } +\cfrac { { 3 }^{ r } }{ { 2 }^{ 2r } } +\cfrac { { 7 }^{ r } }{ { 2 }^{ 3r } } +\cfrac { { 15 }^{ r } }{ { 2 }^{ 4r } } +...upto\: m\: terms \right]$

$\displaystyle \sum _{ r=0 }^{ n }{ { \left( -1 \right) }^{ n } }. { _{ }^{ n }{ C } }_{ r }\left[ \cfrac { 1 }{ { 2 }^{ r } } +\cfrac { { 3 }^{ r } }{ { 2 }^{ 2r } } +\cfrac { { 7 }^{ r } }{ { 2 }^{ 3r } } +\cfrac { { 15 }^{ r } }{ { 2 }^{ 4r } } +... \right]$ upto m terms

$\displaystyle=\sum _{ r=0 }^{ n }{ { \left( -1 \right) }^{ n } } { _{ }^{ n }{ C } }_{ r }{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ r }+\sum _{ r=0 }^{ n }{ { \left( -1 \right) }^{ n } } { _{ }^{ n }{ C } }_{ r }{ \left( \frac { 3 }{ 4 } \right) }^{ r }+\sum _{ r=0 }^{ n }{ { \left( -1 \right) }^{ n } } { _{ }^{ n }{ C } }_{ r }\left( \right) { \left( \frac { 7 }{ 8 } \right) }^{ r }+...$

$\displaystyle={ \left( 1-\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ n }+{ \left( 1-\frac { 3 }{ 4 } \right) }^{ n }+{ \left( 1-\frac { 7 }{ 8 } \right) }^{ n }+...\quad \quad \left[ \because \sum _{ r=0 }^{ n }{ { \left( -1 \right) }^{ n } } { _{ }^{ n }{ C } }_{ r }{ x }^{ r }={ \left( 1-x \right) }^{ r } \right]$

$\displaystyle={ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ n }+{ \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ n }+{ \left( \frac { 1 }{ 8 } \right) }^{ n }+...={ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ n }\left[ \frac { 1-{ \left( \frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } \right) }^{ m } }{ 1-{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ n } } \right]$

$\displaystyle=\frac { { 2 }^{ mn }-1 }{ { 2 }^{ mn }\left( { 2 }^{ n }-1 \right) }$