$\begin{array}{l} \frac{\cos ^{4} x}{\cos ^{2} y}+\frac{\sin ^{4} x}{\sin ^{2} y}=1 \text { হলে} \frac{\cos ^{4} y}{\cos ^{2} x}+\frac{\sin ^{4} y}{\sin ^{2} x} \\\end{array}$ এর মান কত?

প্রদত্ত:

$\frac{(\cos^2 x)^2}{\cos^2 y} + \frac{(\sin^2 x)^2}{\sin^2 y} = 1$

ধরি

$p = \cos^2 x, q = \sin^2 x \implies p+q=1$

$m = \cos^2 y, n = \sin^2 y \implies m+n=1$

তাহলে প্রদত্ত সমীকরণ:

$\frac{p^2}{m} + \frac{q^2}{n} = 1$

ধাপ ৩: $p+q=1, m+n=1$ ব্যবহার

$\frac{p^2}{m} + \frac{(1-p)^2}{1-m} = 1$

একইভাবে, আমাদের বের করতে হবে:

$R = \frac{m^2}{p} + \frac{n^2}{q} = \frac{m^2}{p} + \frac{(1-m)^2}{1-p}$

প্রদত্ত সমীকরণে $p, q, m, n$ এর প্রতিসম রূপ মনে হয়।

প্রদত্ত:

$\frac{p^2}{m} + \frac{q^2}{n} = 1$

$\frac{p^2}{m} + \frac{q^2}{n} = \frac{p^2n + q^2m}{mn} = 1$

$p^2n + q^2m = mn$

এখন $n = 1 - m, q = 1 - p$ বসাই:

$p^2(1 - m) + (1 - p)^2m = m(1 - m)$

$p^2 - p^2m + m - 2pm + p^2m = m - m^2$

বামপক্ষ: $p^2 - p^2m + m - 2pm + p^2m = p^2 + m - 2pm$

তাহলে:

$p^2 + m - 2pm = m - m^2$

$p^2 - 2pm = -m^2$

$p^2 - 2pm + m^2 = 0$

$(p-m)^2 = 0$

$p = m$

অর্থাৎ $\cos^2 x = \cos^2 y$

---

ধাপ ৫: ফলাফল ব্যবহার

যদি $\cos^2 x = \cos^2 y$, তাহলে $\sin^2 x = \sin^2 y$

তাহলে আমাদের বের করতে হবে:

$\frac{\cos^4 y}{\cos^2 x} + \frac{\sin^4 y}{\sin^2 x} = \frac{m^2}{p} + \frac{n^2}{q}$

কিন্তু $m = p, n = q$, তাই:

$\frac{p^2}{p} + \frac{q^2}{q} = p + q = 1$