$' a '$ এর বাস্তব মান কত হলে $x^{3}+3 a x^{2}+x+$ $1=0$ সমীকরণের মূলগুলি সমান্তর প্রগমনে থাকবে? সমীকরণটির মূলগুলিও নির্ণয় কর।

Solve: মনে করি, প্রদত্ত সমীকরণের মূলগুলো,

$\alpha-d, \alpha, \alpha+d \\ \therefore \alpha-d+\alpha+\alpha+d=-3 a \\ \Rightarrow 3 \alpha=-3 a \\ \Rightarrow \alpha=-a \cdots \cdots(1)$

$\begin{aligned} & (\alpha-d) \alpha+\alpha(\alpha+d)+(\alpha+d) \\ & (\alpha-d)=-1 \\ \Rightarrow & \alpha^{2}-\alpha d+\alpha^{2}+\alpha d+\alpha^{2}-d^{2}=1 \\ \Rightarrow & 3 \alpha^{2}-d^{2}=1 \Rightarrow 3 a^{2}-d^{2}=1 \\ \Rightarrow & \left.d^{2}=3 a^{2}-1 \cdots \cdots(2)\right) \\ & (\alpha-d) \alpha(\alpha+d)=-1 \\ \Rightarrow & \alpha\left(\alpha^{2}-d^{2}\right)=-1 \\ \Rightarrow & -a\left(a^{2}-3 a^{2}+1\right)=-1 \\ \Rightarrow & 2 a^{3}-a+1=0 \quad \therefore a=-1.... (3) \end{aligned}$

(2) হতে

$d^{2}=3-1=2\\ \Rightarrow d=\sqrt{2}$

$\therefore$ সমীকরণটির মূলগুলি $1-\sqrt{2}, 1,1+\sqrt{2}$