$(2,3)$ বিন্দুগামী একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা $x$ -অক্ষকে স্পর্শ করে এবং যার কেন্দ্র $x+y=3$ রেখার উপর প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত।

Solve: ধরি, বৃত্তের সমীকরণ,$(\mathrm{x}-\mathrm{h})^{2}+(\mathrm{y}-\mathrm{k})^{2}=\mathrm{r}^{2} \cdots(\mathrm{i})$

যেখানে, h>0, k>0

(i) বৃত্তটি $(2,3)$ বিন্দুগামী।

$\therefore(2-h)^{2}+(3-k)^{2}=r^{2} \cdots \cdots \text { (ii) }$

(i) বৃত্তটি $\mathrm{x}$ -অক্ষকে স্পর্শ করে বলে; $\mathrm{r}=\mathrm{k} \cdots$ (iii)

আবার., (i) বৃত্তটির কেন্দ্র $(\mathrm{h}, \mathrm{k})$ প্রদত্ত রেখা $x+y=3$ এর উপর অবস্থিত।

$\therefore h+k=3 \Rightarrow h=3-\mathrm{k}$

(i) এ $r$ ও $h$ এর মান বসিয়ে পাই,

$(2-3+k)^{2}+(3-k)^{2}=k^{2}$

$\begin{aligned} \Rightarrow & k^{2}-2 \mathrm{k}+1+\mathrm{k}^{2}-6 \mathrm{k}+9=\mathrm{k}^{2} \\ \Rightarrow & \mathrm{k}^{2}-8 \mathrm{k}+10=0 \\ \therefore \quad & k=\frac{8 \pm \sqrt{64-4 \cdot 1.10}}{2.1}=\frac{8 \pm \sqrt{64-40}}{2} \\ & =\frac{8 \pm \sqrt{24}}{2}=4+\sqrt{6}, 4-\sqrt{6} \\ & k=4+\sqrt{6} \text { এর জন্য } h=3-4-\sqrt{6}<0 \\ & k=4-\sqrt{6} \text { এর জন্য } h=3-4+\sqrt{6}>0 \\ \therefore & h=-1+\sqrt{6}, k=4-\sqrt{6} \quad[\because h>0] \end{aligned}$

(iii) হতে, $\mathrm{r}=\mathrm{k}=4-\sqrt{6}$

$\therefore$ নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ,

$(x+1-\sqrt{6})^{2}+(y-4+\sqrt{6})^{2}=(4-\sqrt{6})^{2}$