$(1+4 x)^{p}\left(1+\frac{1}{4 x}\right)^{q}$ এর বিস্তৃতিতে ধ্রুব পদের মান কত ?

Solve:

$\begin{array}{l}(1+4 x)^{p}\left(1+\frac{1}{4 x}\right)^{q} \\= (1+4 x)^{p}\left(\frac{1}{4 x}\right)^{q}(1+4 x)^{q} \\= \frac{1}{4^{y}} x^{-4}(1+4 x)^{p+q}\end{array}$ধরি, প্রদত্ত বিস্তৃতিতে $(r+1)$ তম পদটি ধ্রুব পদ ।

$\begin{array}{l}(r+1) \text { nth term } =\frac{1}{4^{q}} x^{-q} p+{ }^{q} C_{r}(4 x)^{r} \\=p^{p+q} C_{r} \cdot \frac{1}{4^{4}} x^{-q} \cdot 4^{r} \cdot x^{r} \\={ }^{p+q} C_{r} \cdot 4^{r-q} \cdot x^{r-q}\end{array}$

যেহেতু $(r+1)$ তম পদটি ধ্রুব পদ, অতএব এই পদে $\mathrm{x}$- এর ঘাত শূন্য হবে।$\therefore r-q=0 \Rightarrow r=q$অতএব, $(q+1)$ তম পদটি ধ্রুব পদ এবং এর মান $=p+{ }^{q} C_{q}$