$1+2 \sin x+3 \cos ^{2} x, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ এর Maxima & minima নিচের কোনটি ?

Solve: ধরি, $\mathrm{y}=1+2 \sin x+3 \cos ^{2} x$

$\begin{aligned} \therefore \quad \frac{d y}{d x} & =2 \cos x+6 \cos x(-\sin x) \\ & =2 \cos x(1-3 \sin x) \text { এবং } \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}= & 2 \cos x(-3 \cos x)+2(1-3 \sin x)(-\sin x) \\ & =-6 \cos ^{2} \mathrm{x}-2 \sin \mathrm{x}+6 \sin ^{2} \mathrm{x} \end{aligned}$

চরম মানের জন্য, $\frac{d y}{d x}=0$

$\Rightarrow \quad 2 \cos x(1-3 \sin x)=0$

$\begin{array}{l} \therefore \quad \cos x=0, \sin x=\frac{1}{3} \\ \cos x=0 \text { হলে } \sin x=1 \text { এবং } \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-2+6>0 \end{array}$

$\therefore \quad$ প্রদত্ত ফাংশন লঘুমান হবে যখন $\cos \mathrm{x}=0$ এবং এর মান $=1+2(1)+3(0)^{2}=3$

আবার, $\sin x=\frac{1}{3}$ হলে $\cos ^{2} x=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-6 \cdot \frac{8}{9}-2 \cdot \frac{1}{3}+6 \cdot \frac{1}{9}<0$

$\therefore$ প্রদত্ত ফাংশন গুরুমান হবে যখন $\sin \mathrm{x}=\frac{1}{3}$ এবং এর মান $=1+2 \cdot \frac{1}{3}+3 \cdot \frac{8}{9}=\frac{3+2+8}{3}=\frac{13}{3}$